Question

20．某射擊俱樂(lè)部將要舉行移動(dòng)靶射擊比賽，比賽規(guī)則是每位選手可以選擇在A(yíng) 區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次，在A(yíng)區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分；在B區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在A(yíng)區(qū)和B區(qū)每次射中移動(dòng)靶的概率分別為$\frac{1}{3}$和p（0＜p＜1）．
（1）若選手甲在A(yíng)區(qū)射擊，求選手甲至少得3分的概率
（2）我們把在A(yíng)，B兩區(qū)射擊得分的數(shù)學(xué)期望較高者作為選擇射擊區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，如果選手甲最終選擇了在B區(qū)射擊，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出對(duì)立事件的概率，在得出選手甲至少得3分的概率；
（2）分別求出在A(yíng)，B區(qū)的得分的數(shù)學(xué)期望，從而得出不等式，解出p的范圍．

解答 解：（1）選手甲在A(yíng)區(qū)設(shè)計(jì)不得分的概率為（1-$\frac{1}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
∴選手甲在A(yíng)區(qū)設(shè)計(jì)至少得3分的概率為1-$\frac{8}{27}$=$\frac{19}{27}$．
（2）設(shè)選手甲在A(yíng)區(qū)的得分為X，在乙區(qū)的得分為Y，
則X的可能取值為0，3，6，9，Y的可能取值為0，2，4，
則P（X=0）=$\frac{8}{27}$，P（X=3）=${C}_{3}^{1}•$$\frac{1}{3}$•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，P（X=6）=${C}_{3}^{2}•$（$\frac{1}{3}$）²•$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，P（X=9）=（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
P（Y=0）=（1-p）²，P（Y=2）=${C}_{2}^{1}$•p（1-p），P（Y=4）=p²，
∴E（X）=0×$\frac{8}{27}$+3×$\frac{4}{9}$+6×$\frac{2}{9}$+9×$\frac{1}{27}$=3，
E（Y）=0×（1-p）²+2×2p（1-p）+4p²=4p，
∴3＜4p，又0＜p＜1，
∴$\frac{3}{4}＜P＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．