Question

（2008•寧波模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

2

(x+

a

x

)，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上為增函數(shù)，函數(shù)g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求證：對于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），總存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

1

2

(1-

a

x2

)≥0在（1，+∞）上恒成立，知a≤x²在（1，+∞）上恒成立，故a≤1．由g′(x)=

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，知a≥

1

x

在（1，+∞）上恒成立．故a≥1．由此能求出a．
（2）依題意可知，只須證：函數(shù)y=-f（x）的值域是函數(shù)y=g（x）值域的子集．設y=-f（x）的值域為M，y=g（x）的值域為N；由y=-f（x）=-

1

2

(x+ 

1

x

)在[1，m]上為減函數(shù)，g（x）=lnx-x在[1，m]上為減函數(shù)，知M=[-

1

2

(m+

1

m

)，-1]，N={lnm-m，-1}．由此能夠證明總存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．

解答：解：（1）f′(x)=

1

2

(1-

a

x2

)≥0在（1，+∞）上恒成立，
則a≤x²在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤1．…（3分）
又g′(x)=

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
則a≥

1

x

在（1，+∞）上恒成立．
∴a≥1．…（5分）
從而為a=1…（7分）
（2）依題意可知，證明對于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），
總存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．
只須證：函數(shù)y=-f（x）的值域是函數(shù)y=g（x）值域的子集．
設y=-f（x）的值域為M，y=g（x）的值域為N；
由（1）可知y=-f（x）=-

1

2

(x+ 

1

x

)在[1，m]上為減函數(shù)，
g（x）=lnx-x在[1，m]上為減函數(shù)
∴M=[-

1

2

(m+

1

m

)，-1]，N=[lnm-m，-1]…（10分）
設?(x)=x-

1

x

-2lnx，(x＞1)
則∵x＞1，
∴?′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

＞0，
∴y=?（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)
∵m＞1，
∴?（m）＞?（1）=0
∴2lnm＜m-

1

m

∴-

1

2

(m+

1

m

)＞lnm-m…（14分）
∴M⊆N，即對于任意的x₁[1，m]（m＞1）
總存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0…（15分）

點評：本題考查實數(shù)a的值的求法和證明：對于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），總存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．考查分析解決問題的能力，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．