Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點P為DD₁的中點．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）求三棱錐D-PAC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，BD，設AC∩BD=O，易證PO∥BD₁，由線面平行的判定定理即可證得直線BD₁∥平面PAC；
（2）由于四邊形ABCD為正方形，BD⊥AC，易證AC⊥平面BDD₁，由面面垂直的判定定理即可證得平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）由V_D-PAC=V_A-PDC即可求得三棱錐D-PAC的體積．
解答：解：（1）設AC∩BD=O，連接OP，
∵O，P分別為BD，D₁D中點，
∴BD₁∥OP…3′
∵OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
∴BD₁∥平面PAC…5′
（2）∵D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴D₁D⊥AC…7′
又AC⊥BD，D₁D∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD₁…9′
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD₁…10′
（3）∵PD⊥平面ADC，（12分）
∴V_D-PAC=…14′
點評：本題考查直線與平面平行的判定與平面與平面垂直的判定，熟練掌握這些判定定理是解決問題的關鍵，考查學生轉化與空間想象的能力，屬于中檔題．