Question

對于數列{b_n}，2b1+3b2+…+(n+1)bn=

n(n+1)

2

（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設an=1-e-n，bn=

n

n+1

，（n∈N^*），求證．b_n≤a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2b1+3b2+…+(n+1)bn=

n(n+1)

2

，得b1+3b2+…+nbn-1=

n(n-1)

2

，故（n+1）b_n=n，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）設要證an≥bn(n∈N*)，即證1-e^-n≥

n

n+1

，也即證（n+1）（1-e^-n）≥n，即證 n+1≤eⁿ．由此能夠證明b_n≤a_n．

解答：解：（Ⅰ）2b1+3b2+…+(n+1)bn=

n(n+1)

2

  …①
b1+3b2+…+nbn-1=

n(n-1)

2

…②
①-②得：（n+1）b_n=n，
∴bn=

n

n+1

，（n≥2）
n=1時，2b1=

1×2

2

=1，
∴b1=

1

2

，
∴bn =

n

n+1

，（n≥1）．
（Ⅱ）要證an≥bn(n∈N*)，
 即證1-e^-n≥

n

n+1

，
也即證（n+1）（1-e^-n）≥n，
即證 n+1≤eⁿ．
下面證n+1≤eⁿ：
設函數f（x）=1+x-e^x，
f′（x）=1-e^x，
令f′（x）=0，得：x=0
∴x＜0時，f′（x）＞0，
則f（x）在（-∞，0）上單增；
x＞0時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）上單減．
∴f（x）_max=f（0）=0，
∴1+x-e^x≤0，
∴1+n≤eⁿ．
故b_n≤a_n．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是把證明b_n≤a_n轉化為證明n+1≤eⁿ，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．