Question

已知函數f（x）=alnx+（x-c）|x-c|，a＜0，c＞0．
（1）當a=-

3

4

，c=

1

4

時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當c=

a

2

+1時，若f（x）≥

1

4

對x∈（c，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系，即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≥

1

4

對x∈（c，+∞）恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可；

解答： 解：函數f（x）=

alnx+(x-c)2，x≥c alnx-(x-c)2，x＜c

，求導得f′（x）=

2x2-2cx+a x ，x≥c -2x2+2cx+a x ，x＜c

．
（1）當a=-

3

4

，c=

1

4

時，f′（x）=

8x2-2x-3 4x ，x≥ 1 4 -8x2+2x-3 4x ，x＜ 1 4

，
若x＜

1

4

，則f′（x）=

-8x2+2x-3

4x

＜0恒成立，
∴f（x）在（0，

1

4

）上單調減；
若x≥

1

4

，則f′（x）=

(2x+1)(4x-3)

4x

，令f′（x）=0，解得x=

3

4

或x=-

1

2

（舍），
當

1

4

≤x＜

3

4

時，f′（x）＜0，f（x）在[

1

4

，

3

4

）上單調減；
當x＞

3

4

時，f′（x）＞0，f（x）在（

3

4

，+∞）上單調增．
∴函數f（x）的單調減區(qū)間是（0，

3

4

），單調增區(qū)間是（

3

4

，+∞）． 
（2）當x＞c，c=

a

2

+1時，f′（x）=

(x-1)(2x-a)

x

，而c=

a

2

+1＜1，
∴當c＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上單調減；
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調增．
∴函數f（x）在（c，+∞）上的最小值為f（1）=

a2

4

，
∴

a2

4

≥

1

4

恒成立，解得a≤-1或a≥1，
又由c=

a

2

+1＞0，得a＞-2，
∴實數a的取值范圍是（-2，-1]．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵，是壓軸題．