Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，點(diǎn)B為以AC為直徑的圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，且SA=AB，點(diǎn)M是SB的中點(diǎn)，AN⊥SC且交SC于點(diǎn)N．
（I）求證：SC⊥面AMN
（Ⅱ）當(dāng)AB=BC時(shí)，求二面角N-MA-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：對(duì)第（I）問(wèn)，要證SC⊥面AMN，只需證明SC垂直于平面AMN內(nèi)的兩條相交直線，而已知AN⊥SC，所以只需證明SC⊥AM即可，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證AM⊥平面SBC，由AM⊥SB知，只需證AM⊥BC，轉(zhuǎn)化為證BC⊥平面SAB，即證BC⊥AB，BC⊥SA即可．
對(duì)第（Ⅱ）問(wèn)，利用向量法求解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A且與BC平行的直線為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出平面AMN與平面AMC的法向量，由兩法向量的夾角探求二面角N-MA-C的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵SA⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴BC⊥SA．
∵點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上，則BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，
又∵AM?平面SAB，∴BC⊥AM．
∵SA=AD，M是SD的中點(diǎn)，∴AM⊥SB，∵BC∩SB=B，∴AM⊥平面SBC，
又∵SC?平面SBC，∴AM⊥SC．
由已知AN⊥SC，及AM與AN相交，知SC⊥平面AMN．
（Ⅱ） 如右圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A且與BC平行的直線為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
可設(shè)AB=SA=1，則A（0，0，0），B（1，0，0）C（1，1，0），S（0，0，1），M(

1

2

，0，

1

2

)，
∴

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

AC

=(1，1，0)，

CS

=(-1，-1，1)．
設(shè)平面ACM的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AC =0 n • AM =0

，即

x+y=0 1 2 x+ 1 2 z=0

，取x=-1，可得一個(gè)法向量

n

=(-1，1，1)，
由（Ⅰ）知

CS

為平面AMN的一個(gè)法向量，∴cos＜

CS

，

n

＞=

CS • n

| CS || n |

=

1

3

，
由圖易知所求二面角為銳角，故二面角N-MA-C的余弦值是

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了線面垂直的定義與判定定理，一般情況下，定義用來(lái)證明線線垂直，判定定理用來(lái)證明線面垂直，應(yīng)注意體會(huì)線線垂直與線面垂直之間的靈活轉(zhuǎn)化．
2．還考查了二面角大小的求法，利用向量法求二面角的大小時(shí)，注意兩點(diǎn)：
（1）找兩半平面的法向量是關(guān)鍵；
（2）常根據(jù)原幾何體中二面角兩半平面的張開(kāi)程度，或者兩法向量在坐標(biāo)系中的大致指向來(lái)確定所求二面角與兩半平面法向量夾角的關(guān)系．