Question

12．用坐標法證明：等腰三角形ABC底邊上一點到兩腰的距離和等于一腰上的高．

Answer 1

分析 以BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設B（-a，0），C（a，0），A（0，b），求出|PD|，|PE|，點 C到 AB的距離|CF|．推出結果．

解答 證明：在三角形中，AB=AC，P為底邊BC上的一點，PD⊥AB與點D，PE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F．
以BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系
設B（-a，0），C（a，0），A（0，b），則直線AB的方程是bx-ay+ab=0．
直線AC的方程是bx+ay+ab=0．設 P（x₀，0），-a＜x₀＜a
則點p到直線AB，AC的距離分別為
|PD|=$\frac{|{bx}_{0}-0+ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{bx}_{0}+ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
|PE|=$\frac{|{bx}_{0}-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab-{bx}_{0}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
點 C到 AB的距離為
|CF|=$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
∴|PD|+|PE|=|CF|
等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離和等于一腰上的高．

點評 本題考查向量的幾何中的應用，點到直線的距離個數(shù)的應用，考查計算能力．