Question

11．設函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{ax}{x+1}$（x＞-1）．
（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；
（2）當a＞0時，設f（x）在x=x₀處取得最小值，求證：f（x₀）＜1．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，求出函數(shù)f（x）的解析式和導函數(shù)，利用f′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，f′（x）＜0，函數(shù)單調遞減；
（2）當a＞0時，求導，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性求得函數(shù)的最小值，利用f′（x₀）=0，求得a的值，構造輔助函數(shù)g（x）=e^x（-x²-x+1），（x＞-1），求導，求出函數(shù)的g（x）的極大值，由g（x）＜g（0）=0，即可證明f（x₀）＜1．

解答 解：（1）當a=1時，f′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
∵e^x單調遞增，-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$（x＞-1）單調遞增，
∴f′（x）在（-1，+∞）單調遞增，且f′（0）=0，
∴當-1＜x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0，
故f（x）在（-1，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；   
（2）證明：當a＞0時，f′（x）=e^x-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
∵e^x單調遞增，-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$（x＞-1）單調遞增，
∴f′（x）在（-1，+∞）單調遞增．
又f′（2$\sqrt{a}$-1）=${e}^{2\sqrt{a}-1}$-$\frac{a}{{（2\sqrt{a}）}^{2}}$＞$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{4}$，
當x滿足-1＜x＜$\sqrt{a}$時，f′（x）＜0，故f′（x）存在唯一零點，設零點為x₁，
當x∈（-1，x₁）時，f′（x）＜0；當x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-1，x₁）單調遞減，在（x₁，+∞）單調遞增，
∴當x=x₁時，f（x）取得最小值，由條件可得x₁=x₀，f（x）的最小值為f（x₀）．
由于f′（x₀）=e ^x₀-$\frac{a}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$=0，
∴a=e^x₀•（x₀+1）²，
f（x₀）=e^x₀-$\frac{{ax}_{0}}{{x}_{0}+1}$=e^x₀-e^x₀•x₀•（x₀+1）=e^x₀（-x₀²-x₀+1），
設g（x）=e^x（-x²-x+1），（x＞-1），
則g′（x）=e^x（-x²-3x）=-x（x+3）e^x，
令g′（x）＞0，得-1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，
故g（x）在（-1，0）單調遞增，（0，+∞）單調遞減，g（x）＜g（0）=0，
故f（x₀）=g（x₀）＜1．

點評 本題考查導數(shù)的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是正確求導，并會根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的單調性，考查分析和計算能力，屬于難題．