Question

4．如果函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[$\frac{1}{2}，2}$]上單調(diào)遞減，則mn的最大值為18．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，則f′（x）≤0，即（m-2）x+n-8≤0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．而y=（m-2）x+n-8是一次函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個端點處f′（$\frac{1}{2}$）≤0，f′（2）≤0即可．結(jié)合基本不等式求出mn的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0，即（m-2）x+n-8≤0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．
而y=（m-2）x+n-8是一次函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，2]上的圖象是一條線段．
故只須在兩個端點處f′（$\frac{1}{2}$）≤0，f′（2）≤0即可．即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m-2）+n-8≤0①}\\{2（m-2）+n-8≤0②}\end{array}\right.$，
由②得m≤$\frac{1}{2}$（12-n），
∴mn≤$\frac{1}{2}$n（12-n）≤$\frac{1}{2}$$（\frac{n+12-n}{2}）^{2}$=18，
當且僅當m=3，n=6時取得最大值，經(jīng)檢驗m=3，n=6滿足①和②．
∴mn的最大值為18．
故答案為：18．

點評 本題綜合考查了函數(shù)方程的運用，考查導數(shù)的運算，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．