Question

（2012•太原模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=1-an(n∈N*)．
（1）試求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

n

an

(n∈N*)，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）n=1時(shí)，a₁=1-a₁，a₁=

1

2

，由已知得出S_n+1=1-a_n+1②，與已知相減并整理，構(gòu)造數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

2

，公比q=

1

2

的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式易求．
（2）bn=

n

an

=n•2n(n∈N*)，利用錯(cuò)位相消法求和即可．

解答：解：（1）n=1時(shí)，a₁=1-a₁，a₁=

1

2

，
∵Sn=1-an(n∈N*)①，∴S_n+1=1-a_n+1②，
②-①得a_n+1=-a_n+1+a _n，∴a_n+1=

1

2

a _n，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

2

，公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
（2）bn=

n

an

=n•2n(n∈N*)
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，③
2T_n=1×2²+2×2³+3+3×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，④
③-④得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2 ⁿ⁺¹③，
=

2(1-2n)

1-2

-n×2 ⁿ⁺¹③，
整理得T_n=（n-1）2 ⁿ⁺¹+2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式求解，錯(cuò)位相消法數(shù)列求和．考察轉(zhuǎn)化、變形構(gòu)造、推理論證、計(jì)算能力．