Question

三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，PA、PB、PC兩兩互相垂直，且這個三棱錐的三個側(cè)面的面積分別為

2

，2

3

，

6

，則這個球的表面積是

9π

．

Answer 1

分析：三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長就是球的直徑，然后求球的表面積即可．

解答：解：∵三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球
設PA=a，PB=b，PC=c則

ab= 2  ① ac=2 3 ② bc= 6  ③

∴①×②×③可得abc=2

3

 ④
∴④÷①得c=

6

④÷②得b=1
④÷③得a=

2

∴求出長方體的對角線的長：

( 2 )2+12+( 6 )2

=3
∴球的直徑是3，半徑為

3

2

∴球的表面積：4π(

3

2

)2=9π
故答案為9π

點評：本題考查球的表面積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題．解題的關(guān)鍵是要知道三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，PA、PB、PC兩兩互相垂直則球的直徑是以PA，PB，PC所構(gòu)造出的長方體得對角線長這一常用結(jié)論！