Question

已知函數(shù)f（x）=asinx-x（a∈R），則下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若-1≤a≤1，則f（x）在R上單調(diào)遞減
B．若f（x）在R上單調(diào)遞減，則-1≤a≤1
C．若a=1，則f（x）在R上只有1個(gè)零點(diǎn)
D．若f（x）在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，則a=1

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）在R上單調(diào)遞減?f^′（x）＜0，求a的取值范圍，來(lái)判斷A、B的正確性；
利用sinx≤x，來(lái)判斷f（x）有一個(gè)零點(diǎn)的條件，判斷C是否正確；
利用函數(shù)圖象有交點(diǎn)的條件，判定D是否正確．
解答：解：∵f^′（x）=acosx-1，當(dāng)-1≤a≤1，f^′（x）＜0?f（x）在R上單調(diào)遞減，∴A正確；
若f（x）在R上單調(diào)遞減：f^′（x）=acosx-1≤0恒成立，∴-1≤a≤1，∴B正確；
對(duì)C，∵sinx≤x當(dāng)且僅當(dāng)x=0取“=”，∴a=1，則f（x）在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，C正確；
∵當(dāng)0＜a＜1時(shí)f（x）在R上也只有1個(gè)零點(diǎn)0，∴D錯(cuò)誤．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題借助考查命題的真假判斷及應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)判定與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．