【題目】如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，圓臺(tái)的側(cè)面積為.若點(diǎn)分別為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在平面的同側(cè).

（1）求證:；

（2）若，則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式可以求出上下兩底面的半徑，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、直角三角形的判斷方法進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合基本不等式確定點(diǎn)位置，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

（1）證明:設(shè)圓的半徑分別為

因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面積為，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如圖，連接線段，

在圓臺(tái)中，平面平面，

所以.

又，

所以在中，.

在中，，

故，即.

（2）解:由題意可知，三棱錐的體積為

又在直角三角形中，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，

即點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，有最大值

連接，因?yàn)?/span>平面，

所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以的方向?yàn)?/span>軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

點(diǎn)，

由可知，

設(shè)平面的法向量

則，，

取，

則

所以與平面所成角的正弦值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）

（2）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：

學(xué)生序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

數(shù)學(xué)成績

60

65

70

75

85

87

90

物理成績

70

77

80

85

90

86

93

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/span>

附：線性回歸方程，

其中，.

76

83

812

526

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：

甲套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖

乙套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

1

6

19

18

5

1

（1）根據(jù)上述所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算產(chǎn)品合格率，并對兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).

甲套設(shè)備

乙套設(shè)備

合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

附：

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

參考公式：，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，中國快遞行業(yè)持續(xù)快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)量從上世紀(jì)年代的萬件提升到2018年的億件，快遞行業(yè)的發(fā)展也給我們的生活帶來了很大便利.已知某市某快遞點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:首重(重量小于等于)收費(fèi)元，續(xù)重元(不足按算). (如:一個(gè)包裹重量為則需支付首付元，續(xù)重元，一共元快遞費(fèi)用)

（1）若你有三件禮物重量分別為，要將三個(gè)禮物分成兩個(gè)包裹寄出(如:合為一個(gè)包裹，一個(gè)包裹)，那么如何分配禮物，使得你花費(fèi)的快遞費(fèi)最少？

（2）對該快遞點(diǎn)近天的每日攬包裹數(shù)(單位:件)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的日攬包裹數(shù)分別為件，件，件，件，件，那么從這天中隨機(jī)抽出天，求這天的日攬包裹數(shù)均超過件的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，中國快遞行業(yè)持續(xù)快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)量從上世紀(jì)年代的萬件提升到2018年的億件，快遞行業(yè)的發(fā)展也給我們的生活帶來了很大便利.已知某市某快遞點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:首重(重量小于等于)收費(fèi)元，續(xù)重元(不足按算). (如:一個(gè)包裹重量為則需支付首付元，續(xù)重元，一共元快遞費(fèi)用)

（1）若你有三件禮物重量分別為，要將三個(gè)禮物分成兩個(gè)包裹寄出(如:合為一個(gè)包裹，一個(gè)包裹)，那么如何分配禮物，使得你花費(fèi)的快遞費(fèi)最少？

（2）為了解該快遞點(diǎn)2019年的攬件情況，在2019年內(nèi)隨機(jī)抽查了天的日攬收包裹數(shù)(單位:件)，得到如下表格:

包裹數(shù)(單位:件)

天數(shù)(天)

現(xiàn)用這天的日攬收包裹數(shù)估計(jì)該快遞點(diǎn)2019年的日攬收包裏數(shù).若從2019年任取天，記這天中日攬收包裹數(shù)超過件的天數(shù)為隨機(jī)變量求的分布列和期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對角線交于點(diǎn)且

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求銳二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線與曲線、直線分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形所在的平面與正三角形所在的平面互相垂直，為的中點(diǎn)，連接.

（1）證明:平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.

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同步練習(xí)冊答案