Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短軸一個端點到右焦點的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)斜率為1的直線l經(jīng)過左焦點與橢圓C交于A、B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$且a=$\sqrt{3}$，解可得c的值，進而計算可得b的值，將a、b的值代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，由橢圓的方程可得左焦點的坐，即可得直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得方程$4{x^2}+6\sqrt{2}x+3=0$，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系由弦長公式計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，橢圓C的短軸一個端點到右焦點的距離為$\sqrt{3}$，則有a=$\sqrt{3}$，
又由橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，則有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則有c=$\sqrt{2}$，
則b²=a²-c²=3-2=1，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$
（2）由（1）可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
則其左焦點的坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，0），則直線l的方程為：$y=x+\sqrt{2}$
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=x+\sqrt{2}\end{array}\right.$
得$4{x^2}+6\sqrt{2}x+3=0$，
則有${x_1}+{x_2}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{3}{4}$，
$|AB|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用橢圓的幾何性質(zhì)，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．