Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{sin（x+\frac{π}{3}）}{sin（x+\frac{π}{4}）}$，x∈[0，$\frac{π}{4}$]的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\frac{tanx+\sqrt{3}}{\sqrt{2}tanx+\sqrt{2}}$，設(shè)t=tanx+1，由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，則t=tanx+1∈[1，2]，f（x）=$\frac{t+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}t}$，從而可求當(dāng)t=1時，f（x）_min的值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{sin（x+\frac{π}{3}）}{sin（x+\frac{π}{4}）}$=$\frac{\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx}{\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx}$=$\frac{tanx+\sqrt{3}}{\sqrt{2}tanx+\sqrt{2}}$，設(shè)t=tanx+1，由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，則t=tanx+1∈[1，2]，
∴f（x）=$\frac{t+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}t}$，
∴當(dāng)t=1時，f（x）_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．