Question

10．已知橢圓C與雙曲線y²-x²=1有共同焦點(diǎn)，且離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（1）設(shè)A為橢圓C的下頂點(diǎn)，M、N為橢圓上異于A的不同兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之積為-3
①試問M、N所在直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由；
②若P點(diǎn)為橢圓C上異于M，N的一點(diǎn)，且|MP|=|NP|，求△MNP的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\sqrt{2}$），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）①設(shè)直線MN的方程為x=ky+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+3）x²+2kmx+m²-3=0．由此利用韋達(dá)定理、直線斜率，結(jié)合已知條件，能求出直線MN恒過（0，0）．
②推導(dǎo)出OP⊥MN，設(shè)OP所在直線方程為y=-$\frac{1}{k}x$，則${{x}_{P}}^{2}=\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，${{y}_{P}}^{2}=\frac{3}{3{k}^{2}+1}$，由此利用三角形面積公式、基本不等式性質(zhì)，能求出k=±1時(shí)，△MNP的面積最小，并能求出最小值．

解答 解：（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\sqrt{2}$），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∴c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}$=1；
（2）①若MN的斜率不存在，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
則k_AM•k_AN=$\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}•\frac{-{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{3-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$=-3，
而${{y}_{1}}^{2}≤3$，故不成立，∴直線MN的斜率存在，
設(shè)直線MN的方程為x=ky+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+3）x²+2kmx+m²-3=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$，${k}_{AM}=\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$，${k}_{AN}=\frac{{y}_{2}+\sqrt{3}}{{x}_{2}}$，
∵直線AM與直線AN斜率之積為-3．
∴k_AM•k_AN=$\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+\sqrt{3}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{k}_{\;}{x}_{1}+m+\sqrt{3}）（{kx}_{2}+m+\sqrt{3}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+k（m+\sqrt{3}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m+\sqrt{3}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}•\frac{{m}^{2}-3}{{k}^{2}+3}+k（m+\sqrt{3}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m+\sqrt{3}）^{2}}{\frac{{m}^{2}-3}{{k}^{2}+3}}$
=$\frac{3（m+\sqrt{3}）}{m-\sqrt{3}}$=-3，
整理得m=0．
∴直線MN恒過（0，0）．
②由①知${{x}_{M}}^{2}=\frac{3}{{k}^{2}+3}$，${{y}_{M}}^{2}=\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+3}$，
∵|MP|=|NP|，∴OP⊥MN，
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)OP所在直線方程為y=-$\frac{1}{k}x$，則${{x}_{P}}^{2}=\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，${{y}_{P}}^{2}=\frac{3}{3{k}^{2}+1}$，
當(dāng)k=0時(shí)，也符合上式，
∴S_△MNP=|OM|•|OP|=$\sqrt{{{x}_{M}}^{2}+{{y}_{M}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+3}}$•$\sqrt{\frac{3（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}}$=3$\sqrt{\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{（{k}^{2}+3）（3{k}^{2}+1）}}$，
令k²+1=t（t≥1），k²=t-1，
${S}_{△MNP}=3\sqrt{\frac{{t}^{2}}{3{t}^{2}+4t-4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{4}{t}+3}}$，
∵t≥1，∴0$＜\frac{1}{t}≤1$．
當(dāng)$\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$，即t=2時(shí)，-$\frac{4}{{t}^{2}}+\frac{4}{t}+3$取最大值4，
∴當(dāng)k²=1，即k=±1時(shí)，△MNP的面積最小，最小值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線是否過定點(diǎn)的判斷與證明，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、直線斜率、基本不等式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．