Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率$e=\frac{1}{2}$，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，△PAB面積的最大值為$2\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）動直線l過橢圓的左焦點(diǎn)F₁，且l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}$為定值？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)并求出定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率，三角形的面積的最值列出方程，求解橢圓的幾何量，得到橢圓方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)D（m，0），使得向量$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}$為定值n．①當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，橢圓C左焦點(diǎn)F₁（-1，0），設(shè)直線l的方程為x=ty-1．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=ty-1\end{array}\right.$，消去x，得（3t²+4）y²-6ty-9=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理化簡數(shù)量積，求出n；②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，驗(yàn)證求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，\;{（{S_{△PAB}}）_{max}}=\frac{1}{2}×2ab=ab=2\sqrt{3}$，且a²=b²+c²．
解得$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)D（m，0），使得向量$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}$為定值n．
①當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，橢圓C左焦點(diǎn)F₁（-1，0），
設(shè)直線l的方程為x=ty-1．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=ty-1\end{array}\right.$，消去x，得（3t²+4）y²-6ty-9=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{6t}{{3{t^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{t^2}+4}}$．$\overrightarrow{DM}=（{x_1}-m，{y_1}），\overrightarrow{DN}=（{x_2}-m，{y_2}）$，$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=（{x_1}-m）（{x_2}-m）+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+{y_1}{y_2}$
=$（t{y_1}-1）（t{y_2}-1）-m（t（{y_1}+{y_2}）-2）+{m^2}+{y_1}{y_2}$=$（{t^2}+1）{y_1}{y_2}-（m+1）t（{y_1}+{y_2}）+{（m+1）^2}$
=$\frac{{-9（{t^2}+1）}}{{3{t^2}+4}}-\frac{{6{t^2}（m+1）}}{{3{t^2}+4}}+{（m+1）^2}=\frac{{（-6m-15）{t^2}-9}}{{3{t^2}+4}}+{（m+1）^2}$．
若$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}$為定值n，則$\frac{-6m-15}{3}=\frac{-9}{4}$，即$m=-\frac{11}{8}$，此時(shí)$n=-\frac{135}{64}$．
②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，$A（-2，0），B（2，0），D（-\frac{11}{8}，0），\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=-\frac{5}{8}×\frac{27}{8}=-\frac{135}{64}$，亦符合題意；
∴存在點(diǎn)$D（-\frac{11}{8}，0）$，使得向量$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}$為定值$n=-\frac{135}{64}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．