Question

如圖，直線l：y=x+b與拋物線x²=4y相切于點A．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）若過拋物線的焦點且平行于直線l的直線l₁交拋物線于B，C兩點，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由直線l：y=x+b與拋物線x²=4y，根據(jù)直線l與拋物線相切，可得△=16+16b=0，即可求實數(shù)b的值；
（2）由題意可知直線l₁的方程為y=x+1，代入拋物線方程，利用弦長公式求出|BC|，求出點A到直線l₁的距離，可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）由直線l：y=x+b與拋物線x²=4y，消去y，
可$\end{array}\right.$得x²=4（x+b），即x²-4x-4b=0…（2分）
∵直線l與拋物線相切，
∴△=16+16b=0，即b=-1…（5分）
（2）∵拋物線的焦點為（0，1），
∴由題意可知直線l₁的方程為y=x+1 …（7分）
由

y=x+1 x2=4y

得x²-4x-4=0…（8分）
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
∴|BC|=

2

•|x₁-x₂|=

2

•

16+16

=8…（10分）
由（1）得點的坐標為A（2，1）…（11分）
∴點A到直線l₁的距離d=

|2-1+1|

12+(-1)2

=

2

…（12分）
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=4

2

  …（13分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．