【題目】若數(shù)列、滿足 (N*),則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.

(1)若為常數(shù)列,且為的“偏差數(shù)列”,試判斷是否一定為等差數(shù)列,并說明理由;

(2)若無窮數(shù)列是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列,且,為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,求的值;

(3)設(shè)為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,,,若對任意恒成立,求實數(shù)M的最小值.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】

1{an}不一定為等差數(shù)列,如;

2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,解方程可得首項和公比,由等比數(shù)列的通項公式和求和公式,計算可得所求值;

3)由累加法可得數(shù)列{an}的通項公式,討論n為奇數(shù)或偶數(shù),求得極限,由不等式恒成立思想可得M的最小值.

解:(1) 如,則為常數(shù)列,但不是等差數(shù)列,

(2) 設(shè)數(shù)列的公比為,則由題意,、均為正整數(shù),

因為,所以,

解得

(N*),

①當(dāng)時,,,

② 當(dāng)時,,

綜上,的值為;

(3) 由得,=

故有:,

,

,

累加得:

=

=,

,所以

當(dāng)n為奇數(shù)時,單調(diào)遞增,,,

當(dāng)n為偶數(shù)時,單調(diào)遞減,,,

從而,所以M,即M的最小值為

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