Question

18．已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+3cosφ}\\{y=-1+3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）與曲線C₁交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+3cosφ}\\{y=-1+3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去φ可得普通方程，展開(kāi)利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（II）把直線θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入${ρ}^{2}-2\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ-5=0，整理可得：ρ²-2ρ-5=0，利用|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+3cosφ}\\{y=-1+3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去φ可得：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y+1）²=9，展開(kāi)為：x²+y²-2$\sqrt{3}$x+2y-5=0，可得極坐標(biāo)方程：${ρ}^{2}-2\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ-5=0．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x．
（II）把直線θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入${ρ}^{2}-2\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ-5=0，
整理可得：ρ²-2ρ-5=0，
∴ρ₁+ρ₂=2，ρ₁•ρ₂=-5，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-4×（-5）}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．