已知橢圓方程為＋x2＝1，斜率為k(k≠0)的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M(0，m)．

(1)求m的取值范圍；

(2)求△MPQ面積的最大值．


解：(1)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，

由

可得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝－.可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.

設(shè)線段PQ的中點為N，則點N的坐標為，

由題意有kMN·k＝－1，可得·k＝－1，可得m＝，又k≠0，所以0<m<.

(2)設(shè)橢圓的焦點為F，

則S△MPQ＝·|FM|·|x1－x2|＝

，

所以△MPQ的面積為

設(shè)f(m)＝m(1－m)3，

則f′(m)＝(1－m)2(1－4m)．

可知f(m)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減．

所以，當(dāng)m＝時，

f(m)有最大值

即當(dāng)m＝時，△MPQ的面積有最大值.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知a是正實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<1，試比較大小：f(m＋2)________1.(用“<”或“＝”或“>”連接)

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已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(　　)

A．π                                                     B．4π

C．8π                                                   D．9π

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已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________.

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已知P是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上的點，F1，F2是其焦點，雙曲線的離心率是，且·,＝0，若△PF1F2的面積為9，則a＋b的值為(　　)

A．5                                                     B．6

C．7                                                     D．8

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雙曲線－＝－1(a＞0，b＞0)與拋物線y＝x2有一個公共焦點F，雙曲線上過點F且垂直實軸的弦長為，則雙曲線的離心率等于________．

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已知平面和是空間中兩個不同的平面，下列敘述中，正確的是         。（填序號）

①因為，，所以；

②因為，，所以；

③因為，，，所以；

④因為，，所以。

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函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最大值比最小值大，則的值為（    ）

A.    B.    C.      D.

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