已知橢圓過點，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，就是要求得，因此我們要尋找關(guān)于的兩個等式，本題中有離心率，是一個等式，另一個是橢圓過點，即，再結(jié)合可解得，得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）要求△的面積，應(yīng)該先確定位置，也即確定直線，我們可以設(shè)的方程為，條件是以為底邊的等腰三角形怎么應(yīng)用？這個條件用得較多的是其性質(zhì)，三線合一，即取的中點，則有，我們就用這個來求出參數(shù)的值，方法是設(shè)，的中點為，把直線方程代入橢圓方程，可得，從而求出用表示，再由可很快求得，以后就可得到點的坐標(biāo)，求出面積.
試題解析：（1）由已知得.              1分
解得.又，所以橢圓G的方程為.     4分
（2）設(shè)直線l的方程為.
由得.  ①             6分
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點為E，
則.                     8分
因為AB是等腰△的底邊，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2.        10分
此時方程①為，解得，
所以，所以|AB|=.
此時，點P（－3，2）到直線AB：的距離，
所以△的面積S=.                        12分
考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交綜合問題(相交弦長，點到直線距離，三角形面積等).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.判斷以為直徑的圓是否過點，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左、右焦點分別
為，其上頂點為已知是邊長為的正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點任作一動直線交橢圓于兩點，記．若在線段上取一點，使得，當(dāng)直線運動時，點在某一定直線上運動，求出該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：當(dāng)點P在橢圓C上運動時，恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關(guān)于直線對稱，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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