Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知x滿足，由此解得函數(shù)的定義域．
（2）由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．
解答：解：（1）由題意知x滿足，解得-1＜x＜1且x≠0，
則函數(shù)的定義域為 （-1，0）∪（0，1）． …（4分）
（2）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且對定義域中的任意x，
有 ，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（8分）
（3）任取 x₁，x₂∈（0，1），令 x₁＜x₂ ，
則有  
=（）+- 
=（）+-．
由 x₁＜x₂且 x₁，x₂∈（0，1），知，，
故f（ x₁）-f（ x₂）＞0，即函數(shù)f（x）在x∈（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
由（2）知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．…（13分）
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明方法，對數(shù)型函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)的奇偶性的應用，屬于中檔題