Question

求y=

x

x2+1

的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將原函數(shù)變成yx²+y=x，整理成：yx²-x+y=0，可將該式看成關(guān)于x的方程，方程有解．討論y=0和y≠0，y=0時是關(guān)于x的一次方程，看有沒有解，y≠0時，上面方程為關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，判別式△≥0，從而求的y的范圍，這樣便可求出原函數(shù)的值域．

解答： 解：由原函數(shù)得：yx²+y=x，整理得：
yx²-x+y=0，可將該式看成關(guān)于x的方程，方程有解；
若y=0，x=0，即方程有解；
若y≠0，上面的方程是關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，所以：
△=1-4y²≥0，解得-

1

2

≤y≤

1

2

，且y≠0；
∴綜上得原函數(shù)的值域為[-

1

2

，

1

2

]．

點評：考查函數(shù)值域的概念，通過將原函數(shù)整理成關(guān)于x的方程，方程有解，從而求值域的方法．