在平面三角形中,若ABC的三邊長為a,b,c,其內(nèi)切圓半徑為r,有結(jié)論:ABC的面積S=
1
2
(a+b+c)r,類比該結(jié)論,則在空間四面體ABCD中,若四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,其內(nèi)切球半徑為R,則有相應(yīng)結(jié)論:
 
考點(diǎn):類比推理
專題:推理和證明
分析:先用面積分割法,證明平面內(nèi)的結(jié)論正確.然后將該命題推廣到空間:若四面體四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為R,則此四面體的體積為:V=
1
3
(S1+S2+S3+S4)R.接下來可以用體積分割的方法,類似地證明推廣到空間的結(jié)論也是正確的.
解答: 解:先證明平面內(nèi)的結(jié)論正確.
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為I,圓I與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F,
連接ID、IE、IF,
∵ID與圓I相切于點(diǎn)D,
∴ID⊥BC,可得三角形IBC的面積為S△IBC=
1
2
BC•ID=
1
2
ar(其中r是△ABC的內(nèi)切圓半徑),
同理可得:S△IAC=
1
2
AC•IE=
1
2
br,S△IAB=
1
2
AB•IF=
1
2
cr,
∴三角形ABC的面積為S=S△IBC+S△IAC+S△IAB=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
(a+b+c)r,
根據(jù)此結(jié)論,將其類比到空間可得:
若四面體四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為R,則此四面體的體積為V=
1
3
(S1+S2+S3+S4)R.
證明如下:

設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球?yàn)榍騉,球O分別切面BCD、面ACD、面ABD、面ABC于E、F、G、H,
分別設(shè)S△BCD、S△ACD、S△ABD、S△ABC為S1、S2、S3、S4
∵球O切平面BCD于點(diǎn)E,
∴OE⊥平面BCD,三棱錐O-BCD的體積為V1=
1
3
S△BCD•OE=
1
3
S1R,
同理可得:三棱錐O-BCD的體積為V2=
1
3
S△ACD•OF=
1
3
S2R,三棱錐O-ABD的體積為V3=
1
3
S△ABD•OG=
1
3
S3R,
三棱錐O-ABC的體積為V4=
1
3
S△ABC•OH=
1
3
S4R,
∴四面體ABCD的體積等于V=V1+V2+V3+V4=
1
3
S1R+
1
3
S2R+
1
3
S3R+
1
3
S4R=
1
3
(S1+S2+S3+S4)R.
故答案為:V=
1
3
(S1+S2+S3+S4)R.
點(diǎn)評:本題借助于一個(gè)平面內(nèi)關(guān)于內(nèi)切圓半徑的正確命題,通過將其推廣到空間的一個(gè)結(jié)論,考查了三角形面積公式和錐體體積公式等知識點(diǎn),以及用割補(bǔ)的方法求幾何體體積的思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tan(α+β)=
1
5
,tan(β+
π
4
)=
1
4

(1)求tanα的值;
(2)求sin2α+sinαcosα+cos2α的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)z=1-i,則
2
z
+z2=( 。
A、-1-iB、1-i
C、-l+iD、l+i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

運(yùn)行如圖所示的程序,若結(jié)束時(shí)輸出的結(jié)果不小于3,則t的取值范圍為( 。
A、t≥
1
4
B、t≥
1
8
C、t≤
1
4
D、t≤
1
8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,二面角B-AA1-C1的大小等于60°,B到面AC1的距離等于
3
,C1到面AB1的距離等于2
3
,則直線BC1與直線AB1所成角的正切值等于( 。
A、
7
B、
6
C、
5
D、2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若Sn是公差不為0,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列前十項(xiàng)和S10

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知?ABCD的兩條對角線AC與BD交于E,O是任意一點(diǎn).
求證:
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖是某幾何體的三視圖,其中正視圖是腰長為2的等腰三角形,俯視圖是半徑為1的半圓,則該幾何體的體積是( 。
A、
4
3
3
π
B、
1
2
π
C、
3
6
π
D、
3
3
π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知共面向量
a
b
,
c
滿足|
a|
=|
b
|=1
,<
a
,
b
>=120°
且<
a
-
c
b
-
c
>=60°
,則|
c
|
的最大值為( 。
A、
3
B、1
C、
3
2
D、2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案