Question

已知：函數(shù)f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且對(duì)f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A）．現(xiàn)在給出三個(gè)條件：①a=2；②B=45°；③c=

3

b，試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫出你的選擇并以此為依據(jù)求△ABC的面積．（只需寫出一個(gè)選定方案即可）

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

．利用兩角和的余弦公式，及二倍角公式，輔助角公式，可以將式子化簡(jiǎn)為一個(gè)正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案．
（2）由已知中對(duì)f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A），我們易求出A的大小，結(jié)合：①a=2；②B=45°；③c=

3

b，易求出△ABC的面積．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

=2

3

sin2x+

cos2x•cosx-sin2x•sinx

cosx

=2

3

sin2x+cos2x-2sin 2x
=2

3

sin2x+2cos2x-1
=4sin(2x+

π

6

)-1…4分
所以當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值3，
此時(shí)，x=kπ+

π

6

，k∈Z；…（6分）
（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π），得到，A=

π

6

，
方案1 選擇①②…（7分）
由正弦定理

a

sin π 6

=

b

sin π 4

，則b=2

2

，
sinC=sin（A+B）=

2 + 6

4

，…（10分）
所以，面積S=

1

2

a•b•sinC=

3

+1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角形中的幾何計(jì)算，三角函數(shù)的最值，解三角形，其中（1）的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為一個(gè)正弦型函數(shù)的形式，（2）的關(guān)鍵是求出A的大小．