Question

過點(diǎn)（

2700

，0）的所有直線中，過兩個(gè)有理點(diǎn)（縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)）的直線條數(shù)是（　�。�

• A、0條
• B、無數(shù)條
• C、至少1條
• D、有且僅有1條

Answer 1

考點(diǎn)：直線的斜率

專題：直線與圓

分析：分類討論：當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，由于x=

2700

是無理數(shù)，不滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由于x軸上存在無數(shù)個(gè)有理點(diǎn)，因此x軸滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my+

2700

，由于x，y都是有理數(shù)，m必須是無理數(shù)，且my+

2700

=0，否則x是無理數(shù)．即可得出．

解答： 解：①當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，由于x=

2700

是無理數(shù)，不滿足題意．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由于x軸上存在無數(shù)個(gè)有理點(diǎn)，因此x軸滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my+

2700

，
由于x，y都是有理數(shù)，m必須是無理數(shù)，且my+

2700

=0，否則x是無理數(shù)．
可知x=0是y軸，而y軸不過點(diǎn)（

2700

，0），不符合題意．
綜上可知：滿足條件的直線有且只有一條，即x軸．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論的思想方法、反證法、實(shí)數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．