Question

【題目】已知點(diǎn)P是圓F1：（x+1）2+y2=16上任意一點(diǎn)（F1是圓心），點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對稱．線段PF2的中垂線m分別與PF1、PF2交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）直線l經(jīng)過F2 ， 與拋物線y2=4x交于A1 ， A2兩點(diǎn)，與C交于B1 ， B2兩點(diǎn)．當(dāng)以B1B2為直徑的圓經(jīng)過F1時(shí)，求|A1A2|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），圓F1的半徑為4，且|MF2|=|MP|，

從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，）

∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，

其中長軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2，

則短半軸b= ，

橢圓方程為：

（2）解：當(dāng)直線l 與x軸垂直時(shí)，B1（1， ），B2（1，﹣ ），又F1（﹣1，0），

此時(shí) ，所以以B1B2為直徑的圓不經(jīng)過F1．不滿足條件．

當(dāng)直線l 不與x軸垂直時(shí)，設(shè)L：y=k（x﹣1）

由 即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

因?yàn)榻裹c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

設(shè)B1（x1，y1），B2（x2，y2），則：x1+x2= ，x1x2= ，

因?yàn)橐訠1B2為直徑的圓經(jīng)過F1，所以 ，又F1（﹣1，0）

所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0

所以解得k2= ，

由 得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

因?yàn)橹本�l 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0，

設(shè)A1（x3，y3），A2（x4，y4），則：x3+x4= =2+ ，x3x4=1

所以|A1A2|=x3+x4+p=2+ +2= ．

【解析】（1）先確定F1、F2的坐標(biāo)，再根據(jù)線段PF2的中垂線與與PF1、PF2交于M點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，從而可得點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，B1（1， ），B2（1，﹣ ），不滿足條件，當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x﹣1），由 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)、弦長公式能求出|A1A2|．