Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(x)=x3+f ′(

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3

)x2-x+C（其中f ′(

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)為f（x）在點x=

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3

處的導數(shù)，C為常數(shù)）．
（1）求f ′(

2

3

)的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x3+f ′(

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)x2-x+C，得f ′(x)=3x2+2f ′(

2

3

)x-1．由此能求出f ′(

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3

)的值．
（2）由f（x）=x³-x²-x+C．知f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)，列表討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由f(x)=x3+f ′(

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)x2-x+C，得f ′(x)=3x2+2f ′(

2

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)x-1．
取x=

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，得f ′(

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)=3×(

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3

)2+2f ′(

2

3

)×(

2

3

)-1，
解之，得f ′(

2

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)=-1，…（6分）
（2）因為f（x）=x³-x²-x+C．
從而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)，列表如下：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞ ， -

1

3

)，（1，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

1

3

 ， 1)．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．