Question

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AEC₁F為平行四邊形且AB＝4，BC＝2，CC₁＝3，BE＝1．

(1)求BF的長；

(2)求點C到平面AEC₁F的距離．

Answer 1

解1：（Ⅰ）過E作EH//BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.

（Ⅱ）延長C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過C作CM⊥AG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC．在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到

平面AEC1F的距離.　

解法2：：

(1)如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，

則D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，

C₁(0，4，3)．設(shè)，F(0，0，z)．

∵AEC₁F為平行四邊形，∴，(－2，0，z)＝(－2，0，2)

∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴＝(－2，4，2)，．

(2)設(shè)n₁為平面AEC₁F的法向量，顯然n₁不垂直于平面ADF，

所以設(shè)n₁＝(x，y，z)．由，得設(shè)y＝1，則x＝－4，z＝－4，

∴n₁＝(－4，1，－4)．又∴C到平面AEC₁F的距離為