Question

20．（請(qǐng)用分析法證明）若a＞0，求證：$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$-$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$-2．

Answer 1

分析 運(yùn)用分析法證明，通過(guò)兩邊平方和不等式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理，再由均值不等式即可得證．

解答 證明：要證$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$-$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$-2，
只需證$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$+2≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{2}$，
兩邊平方，即為a+$\frac{1}{a}$+4+4$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$≥a+$\frac{1}{a}$+2+2$\sqrt{2}$（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$）+2，
即證$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$），
兩邊平方可得a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{a}$+2），
即證a+$\frac{1}{a}$≥2，由a＞0，a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，上式顯然成立．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法證明，通過(guò)平方法和不等式的性質(zhì)，及均值不等式，考查推理能力，屬于中檔題．