Question

8．某職業(yè)學(xué)校有2000名學(xué)生，校服務(wù)部為了解學(xué)生在校的月消費(fèi)情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成直方圖如圖：
（Ⅰ）試估計(jì)該校學(xué)生在校月消費(fèi)的平均數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)校服務(wù)部以往的經(jīng)驗(yàn)，每個(gè)學(xué)生在校的月消費(fèi)金額x（元）和服務(wù)部可獲得利潤(rùn)y（元），滿(mǎn)足關(guān)系式：$y=\left\{\begin{array}{l}20，\;\;\;200≤x＜400\\ 40，\;\;400≤x＜800\\ 80，\;\;800≤x≤1200.\end{array}\right.$根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題：
（ⅰ）對(duì)于任意一個(gè)學(xué)生，校服務(wù)部可獲得的利潤(rùn)記為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（ⅱ）若校服務(wù)部計(jì)劃每月預(yù)留月利潤(rùn)的$\frac{2}{9}$，用于資助在校月消費(fèi)低于400元的學(xué)生，那么受資助的學(xué)生每人每月可獲得多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出學(xué)生月消費(fèi)的平均數(shù)．
（Ⅱ）（ⅰ）月消費(fèi)值落入?yún)^(qū)間[200，400）、[400，800）、[800，1200]的頻率分別為0.05、0.80、0.15，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（ii）先求出服務(wù)部的月利潤(rùn)，再求出受助學(xué)生人數(shù)，由此能求出每個(gè)受助學(xué)生每月可獲得多少元．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得學(xué)生月消費(fèi)的平均數(shù)：
$\overline x=（\frac{1}{4000}×300+\frac{1}{1000}×500+\frac{3}{1000}×700+\frac{1}{2000}×900+\frac{1}{4000}×1100）×200$…（2分）
=680…（4分）
（Ⅱ）（�。┰孪�費(fèi)值落入?yún)^(qū)間[200，400）、[400，800）、[800，1200]的頻率分別為0.05、0.80、0.15，
∴P（ξ=20）=0.05，
P（ξ=40）=0.80，
P（ξ=80）=0.15，
∴ξ的分布列為：

ξ	20	40	80
P	0.05	0.80	0.15

Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45．
（ii）服務(wù)部的月利潤(rùn)為45×2000=90000（元），
受助學(xué)生人數(shù)為2000×0.05=100，
每個(gè)受助學(xué)生每月可獲得90000×$\frac{2}{9}$÷100=200（元）．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)，考查分類(lèi)與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．