Question

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，則x₁•x₂=

1. A.
   2006
2. B.
   2007
3. C.
   2008
4. D.
   2009

Answer 1

D
分析：由題意可得，x₁是函數(shù)y= 和y=lgx交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，x₂ 是函數(shù)y=和y=10^x的圖象的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．由于函數(shù)y=10^x和y=lgx互為反函數(shù)，故線段MN的中點(diǎn)G在直線y=x上．由于M（x₁，），N（x₂，），G（，），可得 =，由此求得 x₁•x₂ 的值．
解答：已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，則x₁是函數(shù)y= 和y=lgx交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，
x₂ 是函數(shù)y=和y=10^x的圖象的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．
由于 函數(shù)y=10^x和y=lgx互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，故M、N兩個點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱，
即線段MN的中點(diǎn)G在直線y=x上．
由于M（x₁，），N（x₂，），G（，），
∴=，∴x₁•x₂=2009，
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象間的關(guān)系，屬于中檔題．