【題目】已知不等式|x+1|>|2﹣x|+1的解集為M,且a,b,c∈M.
(1)比較|a﹣b|與|1﹣ab|的大小,并說明理由;
(2)若,求a2+b2+c2的最小值.
【答案】(1)|a﹣b|<|1﹣ab|,詳見解析(2)9
【解析】
(1)化簡得到,計(jì)算得到,計(jì)算
得到證明。
(2)利用均值不等式得到,再利用均值不等式得到答案。
(1)設(shè)f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|,
由f(x)>1,得M={x|x>1},
∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=a2b2﹣a2﹣b2+1
=(a2﹣1)(b2﹣1)>0,(a>1,b>1),
∴|a﹣b|<|1﹣ab|;
(2)由已知a>1,b>1,c>1,而3,
結(jié)合已知得3,故a2+b2+c2≥39,
故a2+b2+c2的最小值是9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,滿足:對于任意正整數(shù)n,當(dāng)n≥2時(shí),.
(1)若,求的值;
(2)若,,且數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù).
① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
② 是否存在,且,使得為數(shù)列中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 則: (1)曲線的斜率為的切線方程為__________;
(2)設(shè),記在區(qū)間上的最大值為.當(dāng)最小時(shí),的值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD垂直底面ABCD,∠PAD=∠ABC,設(shè).
(1)求證:AE垂直BC;
(2)若直線AB∥平面PCD,且DC=2AB,求證:直線PD∥平面ACE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為提高課堂教學(xué)效果,最近立項(xiàng)了市級課題《高效課堂教學(xué)模式及其運(yùn)用》,其中王老師是該課題的主研人之一,為獲得第一手?jǐn)?shù)據(jù),她分別在甲、乙兩個(gè)平行班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“高效課堂”兩種不同的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn).為了解教改實(shí)效,期中考試后,分別從兩個(gè)班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出如圖所示的莖葉圖,成績大于70分為“成績優(yōu)良”.
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?
甲班 | 乙班 | 總計(jì) | |
成績優(yōu)良 | |||
成績不優(yōu)良 | |||
總計(jì) |
(2)從甲、乙兩班40個(gè)樣本中,成績在60分以下(不含60分)的學(xué)生中任意選取2人,記來自甲班的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:(其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動,平面與平面所成銳二面角為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個(gè)邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個(gè)點(diǎn),己知恰有800個(gè)點(diǎn)落在陰影部分,據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中是常數(shù)).
(Ⅰ)求過點(diǎn)與曲線相切的直線方程;
(Ⅱ)是否存在的實(shí)數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時(shí)不等式恒成立,若這樣的實(shí)數(shù)存在,試求,的值;若不存在,請說明理由.
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