Question

18．甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人毎射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分，若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為$\frac{2}{5}$和p，且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為$\frac{9}{20}$，假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響．
（1）若乙射擊兩次，求其得分為2的概率；
（2）記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，由題意知P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=p，由此利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出p=$\frac{1}{4}$．從而能求出乙射擊兩次，求其得分為2的概率．
（2）X的取值分別為0，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，
“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，
由題意知P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=p，
∵甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為$\frac{9}{20}$，
∴P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）=$\frac{2}{5}（1-p）+\frac{3}{5}p$=$\frac{9}{20}$，
解得p=$\frac{1}{4}$．
∴乙射擊兩次，求其得分為2的概率：
P=2×[p（1-p）]=2（$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{8}$．
（2）X的取值分別為0，2，4，
P（X=0）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{4}=\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{9}{20}$，
P（X=4）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	0	2	4
P	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{10}$

EX=$0×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+4×\frac{1}{10}$=$\frac{13}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一，解題時(shí)要注意互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．