Question

7．定義在R上的函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，若f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0，且0≤x≤2，則x-b的取值范圍是[-2，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則可以將f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0轉(zhuǎn)化為f（x²-2x）＜f（b²-2b），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進一步可以轉(zhuǎn)化為|x-1|≥|b-1|，即可得
$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{x≤b≤2-x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x≤b≤x}\end{array}\right.$，建立如圖的坐標系：設(shè)z=x-b，借助線性規(guī)劃的性質(zhì)分析可得x-b的最大、最小值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0?f（x²-2x）＜-f（2b-b²）?f（x²-2x）＜f（b²-2b），
又由函數(shù)f（x）為減函數(shù)，則f（x²-2x）＜f（b²-2b）?x²-2x＞b²-2b?|x-1|≥|b-1|，
又由0≤x≤2，則有$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{x≤b≤2-x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x≤b≤x}\end{array}\right.$，
建立如圖的坐標系：設(shè)z=x-b，
分析可得對于直線b=x-z，當其過點（2，0）時，Z有最大值2，當其過點（0，2）時，Z有最小值-2，
故x-b的取值范圍[-2，2]；
故答案為：[-2，2]．

點評 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析得到關(guān)于x、b的不等式．