如圖，設(shè)橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限.
（１）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；
（２）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為.

（1）點的坐標為；（2）詳見解析．

解析試題分析：（1）已知直線的斜率為，用表示點的坐標，由已知橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，可設(shè)出直線的方程為，結(jié)合橢圓方程，得，消去得，，令，得，即，代入原式得點的坐標為，再由點在第一象限，得，可得點的坐標為；（2）點到直線的距離的最大值為，由直線過原點且與垂直，得直線的方程為，利用點到直線距離公式可得，即，由式子特點，需消去即可，注意到，代入即可證明．
（1）設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個公共點，故，即，解得點的坐標為，由點在第一象限，故點的坐標為；
（2）由于直線過原點，且與垂直，故直線的方程為，所以點到直線的距離，整理得，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以點到直線的距離的最大值為.
點評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，點單直線距離，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何得基本思想方法，基本不等式應(yīng)用等綜合解題能力。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的焦點在軸上.
（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點，直線交軸與點，并且，證明：當變化時，點在某定直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點．求證：
(1)為定值；
(2) 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,，右頂點為A，上頂點為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過點的直線與該圓相切與點M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點在x軸上，左右頂點分別為，上頂點為B，拋物線分別以A,B為焦點，其頂點均為坐標原點O，與相交于直線上一點P.
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點M,N，已知點，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知兩條拋物線和，過原點的兩條直線和，與分別交于兩點，與分別交于兩點.
（1）證明：
（2）過原點作直線（異于，）與分別交于兩點.記與的面積分別為與,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點分別為，長軸長為6，
⑴求橢圓C的標準方程;
⑵已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖為橢圓C：的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率，的面積為.若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢圓”，直線與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）問是否存在過左焦點的直線，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

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