Question

2．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D₁是A₁C₁中點(diǎn)
（1）求證：BC₁∥平面AB₁D₁
（2）求證：平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁B，交AB₁于O，連結(jié)OD₁，則OD₁∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面AB₁D₁．
（2）推導(dǎo)出BD∥平面AB₁D₁，BC₁∥平面AB₁D₁，BD∩BC₁=B，由此能證明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

解答 證明：（1）連結(jié)A₁B，交AB₁于O，連結(jié)OD₁，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D₁是A₁C₁中點(diǎn)，
∴OD₁∥BC₁，
∵OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁．
（2）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D₁是A₁C₁中點(diǎn)，
∴BD∥B₁D₁，
∵BD?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴BD∥平面AB₁D₁，
又BC₁∥平面AB₁D₁，BD∩BC₁=B，
BD、BC₁?平面C₁BD，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．