Question

【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)， f(x)＝－x＋1

(1)求f(0)，f(2)；

(2)求函數(shù)f(x)的解析式；

(3)若f(a－1)<3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3； （2）； （3）(-1，3).

【解析】

(1 )將代入解析式可得，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求的值； (2)令，則，求得，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求函數(shù))的解析式；(3)由 ，根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用絕對(duì)值不等式的解法可求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(1)因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝－x＋1所以f(0)＝1.

又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以

f(2)＝f(－2)＝—(－2)＋1＝3，即f(2)＝3.

(2)令x>0，則－x<0，

從而f(－x)＝x＋1＝f(x)，

∴x>0時(shí)，f(x)＝x＋1

∴函數(shù)f(x)的解析式為

,

(3)由函數(shù)圖像可得

∴f(x)＝－x＋1在(－∞，0]上為減函數(shù)．

又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．

∵f(a－1)<3＝f(2)，∴|a－1|<2，解得-1<a<3.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1，3).