【題目】已知函數(shù)(a>0,a≠1,m≠﹣1),是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù).

(I)求f(0)的值和實數(shù)m的值;

(II)當(dāng)m=1時,判斷函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上的單調(diào)性,并給出證明;

(III)若且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0,求實數(shù)b的取值范圍.

【答案】(1)1(2)見解析(3)

【解析】試題分析:I由奇函數(shù)的定義可得f(﹣x)+f(x)= loga=0,進一步整理得1﹣m2x2=1﹣x2恒成立,比較系數(shù)可得m=1或m=﹣1(舍去);(II)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(III)由,得0<a<1,根據(jù)條件構(gòu)造不等式f(b﹣2)>f(2﹣2b),然后利用函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于b的不等式求解即可。

試題解析:(I)∵f(0)=loga1=0.

∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),

∴ f(﹣x)=﹣f(x)

∴f(﹣x)+f(x)=0

∴l(xiāng)oga+loga=0;

∴l(xiāng)oga=0

=1,

整理得1﹣m2x2=1﹣x2對定義域內(nèi)的x都成立.

∴m2=1.

所以m=1或m=﹣1(舍去)

∴m=1.

(II)由(I)可得f(x)=loga;

設(shè)﹣1<x1<x2<1,則

∵﹣1<x1<x2<1∴x2﹣x1>0,(x1+1)(x2+1)>0

∴t1>t2

① 當(dāng)a>1時,logat1>logat2,即f(x1)>f(x2).

∴當(dāng)a>1時,f(x)在(﹣1,1)上是減函數(shù).

②當(dāng)0<a<1時,logat1<logat2,即f(x1)<f(x2).

∴當(dāng)0<a<1時,f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù).

(III)∵,

∴0<a<1,

由f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0,得f(b﹣2)>﹣f(2b﹣2),

∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),

∴f(b﹣2)>f(2﹣2b),

故由(II)得f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù),

解得

∴實數(shù)b的取值范圍是

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