Question

已知函數(shù)f(x)=ax3+

1

2

x2+2x在x=-1處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可知f′（-1）=0，列出方程求解，即可得到a的值；
（2）令導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0，求出方程的根，利用導(dǎo)數(shù)判斷根左右的單調(diào)性，再根據(jù)極值的定義，即可求得函數(shù)f（x）的極值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=ax3+

1

2

x2+2x，
∴f′（x）=3ax²+x+2，
∵函數(shù)f(x)=ax3+

1

2

x2+2x在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=0，
∴3a-1+2=0，
∴a=-

1

3

；
（2）由（1）可得，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
∴f′（x）=-x²+x+2，
令f′（x）=0，解得x=-1或x=2，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-1，2）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極小值為f(-1)=-

7

6

，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極大值為f(2)=

10

3

，
∴函數(shù)f（x）的極小值為-

7

6

，極大值為

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題時(shí)要注意運(yùn)用極值點(diǎn)必定是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，而導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根不一定是極值點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．過(guò)程中要注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，一般導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．