Question

某企業(yè)在減員增效活動中對部分員工實行強制下崗，規(guī)定下崗員工在第一年可領(lǐng)取在職員工收入百分之百，之后每年所領(lǐng)取的比例只有去年的

2

3

，根據(jù)企業(yè)規(guī)劃師預(yù)測，減員之后，該企業(yè)的利潤增加可使得在職員工的收入得到提高，若當年的年收入a萬元，之后每年將增長ka萬元．
（1）當k=

1

4

時，到第n年下崗員工可從該企業(yè)獲得總收入為多少？
（2）某位下崗員工恰好在第m年在該企業(yè)所得比去年少，求m的最大值及此時k的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）先求出下崗員工第n年從該企業(yè)收入，再利用錯位相減法求和，即可得到結(jié)論；
（2）b_n=a_n+1-a_n，利用某位下崗員工恰好在第m年在該企業(yè)所得比去年少，建立不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)下崗員工第n年從該企業(yè)收入為a_n萬元，則據(jù)題意a_n=（

2

3

）^n-1[1+（n-1）

1

4

]a …（2分）
設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n=[1+

2

3

+…+（

2

3

）^n-1]a+

1

4

[

2

3

+…+（n-1）（

2

3

）^n-1]a
由錯位相減法可得：S_n=

3

4

[6-（n+6）（

2

3

）ⁿ]a
∴到第n年下崗員工可從該企業(yè)獲得收入

3

4

[6-（n+6）（

2

3

）ⁿ]a萬元．（5分）
（2）令b_n=a_n+1-a_n=（

2

3

）ⁿ[1+nk]a-（

2

3

）^n-1[1+（n-1）k]a=

2n-1

3n

[（3-n）k-1]a（7分）
據(jù)題意
當n＜m-1時，b_n≥0，即（3-n）k-1≥0；①
當n=m-1時，b_n＜0，即（4-m）k-1＜0； ②（10分）
當m≥4時，②式總成立，即從第4年開始下崗員工總是從該企業(yè)所得變少；
∴m_最大值=4；                            （12分）
將m=4代入①式得n＜3時，（3-n）k-1≥0恒成立；∵k＞0
∴[（3-n）k-1]_最小值=k-1≥0
∴k≥1
∴m的最大值為4，此時 k≥1．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．