Question

【題目】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.

（Ⅰ）計(jì)算的值，猜想的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

Answer 1

【答案】(1) （2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先根據(jù) 關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為項(xiàng)與項(xiàng)遞推關(guān)系，依次代入求解，可得的值，根據(jù)規(guī)律猜想，利用項(xiàng)與項(xiàng)遞推關(guān)系及歸納假設(shè)證明n=k+1時(shí)情況（2）利用放縮裂項(xiàng)求和：，也可直接利用數(shù)學(xué)不等式進(jìn)行證明

試題解析：（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí)，，得；，得；

，得.

猜想

證明：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

結(jié)合，解得

于是對(duì)于一切的自然數(shù)，都有

（Ⅱ）證法一：因?yàn)?/span>，

證法二：數(shù)學(xué)歸納法

證明：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，，，

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

要證：只需證：

由于

所以

于是對(duì)于一切的自然數(shù)，都有