Question

△ABC中，角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．已知2cos（B-C）-1=4cosBcosC．
（1）求∠A；
（2）若a=4，△ABC的面積為4

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（1）利用角恒等變換，化簡已知等式可得cos（B+C）=-

1

2

，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍算出B+C=

2π

3

，再利用三角形內(nèi)角和即可得到A的大��；
（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合△ABC的面積為4

3

出bc=16，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入數(shù)據(jù)化簡可得（b+c）²-3bc=16，兩式聯(lián)立可算出b，c的值．

解答：解：（1）∵2cos（B-C）-1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）-1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1，可得2cos（B+C）=-1，
∴cos（B+C）=-

1

2

．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=

2π

3

．
∴A=π-（B+C）=

π

3

．…（6分）
（2）由（1），得A=

π

3

．
∵S_△ABC=4

3

∴

1

2

bcsin

π

3

=4

3

得bc=16．①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4²=b²+c²-2bccos

π

3

，即b²+c²-bc=16
∴（b+c）²-3bc=16                        ②
將①代入②，得（b+c）²-48=16
∴（b+c）²=64，得b+c=8，∴b=c=4，…（12分）．

點(diǎn)評：本題給出三角形的角滿足的條件，求A的大小，并在已知三角形面積的情況下求邊長．著重考查了三角恒等變換、正余弦定理和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．