Question

20．過橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上一點$M（\sqrt{3}$，$\sqrt{2}）$作直線MA、MB交橢圓于A、B兩點，若MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線AM方程y=k（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，利用點$M（\sqrt{3}$，$\sqrt{2}）$在橢圓上，可求M的坐標，利用直線AN的斜率與AM的斜率互為相反數(shù)，將k換為-k，可求N的坐標，由兩點的斜率公式，可得直線MN的斜率，化簡整理即可得到定值．

解答 解：由題意可知：設(shè)直線AM方程y=k（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{2}$，
代入橢圓方程，消y可得（1+3k²）x²-6k（$\sqrt{3}$k-$\sqrt{2}$）x+3（$\sqrt{3}$k-$\sqrt{2}$）²-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由點$M（\sqrt{3}$，$\sqrt{2}）$在橢圓上，
則$\sqrt{3}$x₁=$\frac{3（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-9}{1+3{k}^{2}}$，x₁=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，
則y₁=kx₁+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$k．
又直線AN的斜率與AM的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，
可得x₂=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k+\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，y₂=-kx₂+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$k．
所以直線MN的斜率k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2\sqrt{3}k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k[\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}+\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k+\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}]+2\sqrt{3}k}{\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k+\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}-\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}}$，
=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即直線AB的斜率$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查直線的斜率為定值的求法，兩點的斜率公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．