Question

已知函數(shù)f(x)=x-

a

x

(a＞0)，有下列四個命題：
①f（x）是奇函數(shù)；
②f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減；
④f（x）零點(diǎn)個數(shù)為2個；
⑤方程|f（x）|=a總有四個不同的解．
其中正確的是

 

．（把所有正確命題的序號填上）

Answer 1

分析：①由題意得函數(shù)定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）又因?yàn)?span id="vrjl7tb" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(-x)=-x+

a

x

=-(x-

a

x

)=-f(x)所以f（x）是奇函數(shù)．②令f（x）=0得x=

a

或x=-

a

．③f′（x）=1+

a

x2

＞0可得函數(shù)的單調(diào)性．④令f（x）=0得即x-

a

x

=0解得x=

a

或x=-

a

．⑤因?yàn)閒（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增且f（x）零點(diǎn)個數(shù)為2個所以函數(shù)y=|f（x）|在定義域內(nèi)分四段結(jié)合函數(shù)的圖象可得結(jié)果．

解答：解：①由題意得函數(shù)定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）又因?yàn)?span id="ztldbvn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=x-

a

x

(a＞0)所以f(-x)=-x+

a

x

=-(x-

a

x

)=-f(x)所以f（x）是奇函數(shù)．所以①正確．
②令f（x）=0得即x-

a

x

=0解得x=

a

或x=-

a

所以值域內(nèi)包含有0．所以②錯誤．
③f′（x）=1+

a

x2

＞0所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增；所以③錯誤．
④令f（x）=0得即x-

a

x

=0解得x=

a

或x=-

a

所以f（x）零點(diǎn)個數(shù)為2個；所以④正確．
⑤因?yàn)閒（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增且f（x）零點(diǎn)個數(shù)為2個所以函數(shù)y=|f（x）|在定義域內(nèi)分四段，又因?yàn)閍＞0所以方程|f（x）|=a總有四個不同的解；
故答案為（1）（4）（5）．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是函數(shù)的性質(zhì)要熟練，結(jié)合導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的性質(zhì)問題，在運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)時要注意函數(shù)的定義域．