Question

11．若球O的球面上共有三點A、B、C，其中任意兩點間的球面距離都等于大圓周長的$\frac{1}{6}$，經(jīng)過A、B、C這三點的小圓周長為4$\sqrt{3}$π，則球O的體積為288π．

Answer 1

分析 由條件：“經(jīng)過A、B、C這三點的小圓周長為4$\sqrt{3}$π，”得出正三角形ABC的外接圓半徑r=2$\sqrt{3}$，再結合球的性質知：三角形ABC的外接圓半徑r、球的半徑、球心與三角形ABC的外接圓的圓心的連線構成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，解出球半徑R，即可求出球O的體積．

解答 解：因為正三角形ABC的外徑r=2$\sqrt{3}$，故高AD=3$\sqrt{3}$，D是BC的中點．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=$\frac{π}{3}$，所以BC=BO=R，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=$\frac{1}{4}$R²+27，所以R=6
則球O的體積為：V=$\frac{4}{3}π•{6}^{3}$=288π．
故答案為：288π．

點評 本題考查學生的空間想象能力，以及對球的性質認識及利用，是中檔題．此類題的解法是：充分利用圖形的特點構造三角形，根據(jù)球的性質結合解三角形解決問題．