Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)a＝3時(shí)，求函數(shù)y＝f（x）的圖象在x＝0處的切線方程；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝5x；（2）a≥﹣2．

【解析】

（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，然后用點(diǎn)斜式求得直線方程；

（2）求導(dǎo)后分與討論函數(shù)的單調(diào)性.求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，3x﹣1，

則，

，又，

∴切點(diǎn)為斜率的切線方程為：；

（2）令，若時(shí)，

則，，

∴x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，等價(jià)于t≥1時(shí)，，

令g（t）＝alnt3t﹣4，g（1）＝0，g′（t）3，

設(shè)h（t）＝3t2+at﹣1，則h（t）恒過(guò)（0，﹣1）點(diǎn)，

①當(dāng)h（1）≥0，即時(shí)，h（t）≥0在t≥1恒成立，

∴g（t）在t≥1時(shí)單調(diào)遞增，∴g（t）≥g（1）＝0恒成立，

②設(shè)拋物線h（t）＝3t2+at﹣1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為t1，t2，且t1＜t2，

當(dāng)h（1）＜0時(shí)，即a＜﹣2時(shí)，h（t）＜0，在t∈（1，t2）恒成立，

∴g′（t）＜0在t∈（1，t2）恒成立，g（x）在（1，t2）時(shí)單調(diào)遞減，

∴g（t）＜g（1）＝0在t∈（1，t2）恒成立，

不滿足g（t）＞0恒成立，

綜上所述a≥﹣2．