Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在常數(shù)，使函數(shù)和函數(shù)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后令，從而通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得其最小值，進而求得的取值范圍；（2）首先將問題轉(zhuǎn)化為在上恰有兩個不同的零點，然后令，從而通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得其最小值，進而求得的取值范圍；（3）首先分別求得函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)與具有相同的單調(diào)性建立關(guān)于的不等式組，由此求得的值．

試題解析：（1）當(dāng)時，由得，

∵，∴，∴有在上恒成立，

令，由得，

當(dāng)，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴，∴實數(shù)的取值范圍為；

（2）當(dāng)時，函數(shù)，

在上恰有兩個不同的零點，即在上恰有兩個不同的零點，

令，則，

當(dāng)，；當(dāng)，，

∴在上單減，在上單增，，

又，如圖所示，所以實數(shù)的取值范圍為．

（3）函數(shù)和函數(shù)在公共定義域為，

∴在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)，

時，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意，

時，當(dāng)時，當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，在上為單調(diào)遞增，

要使與具有相同的單調(diào)性，須，解得．

存在常數(shù)時，使與具有相同的單調(diào)性．