【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點(diǎn)，.

（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以，，所在直線為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接.

在中，為中位線

∴且，

∵且，

∴且

∴四邊形為平行四邊形.

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（2）解：如圖所示以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，

于是

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

將坐標(biāo)代入并取，得.

另外易知平面的一個(gè)法向量為，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知一列非零向量滿足:(其中是非零常數(shù)).

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)求向量與夾角的弧度數(shù)

(3)當(dāng)時(shí),把中所有與共線的向量按原來的順序排成一列,記為令為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)列的極限點(diǎn)D的坐標(biāo).(注:若點(diǎn)坐標(biāo)為且則稱點(diǎn)D為點(diǎn)列的極限點(diǎn)).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的. [附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度;

（2）試估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后，對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);

（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請將（2）的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

點(diǎn)P是曲線C1：（x－2）2＋y2＝4上的動點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)O為中心，將點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C2．

（Ⅰ）求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）射線（ρ＞0）與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)M（2，0），求△MAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）已知直線l過點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量為．

①求直線l的方程；

②一組直線，，，，，都與直線l平行，它們到直線l的距離依次為d，，，，，（），且直線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，試用n表示d的關(guān)系式，并求出直線的方程（用n、i表示）；

（2）在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多條直線，，，，的直線簇，使它同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①點(diǎn)；②，其中是直線的斜率，和分別為直線在x軸和y軸上的截距；③.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場舉行優(yōu)惠促銷,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種:方案一:每滿200元減50元；方案二:每滿200元可抽獎一次.具體規(guī)則是依次從裝有3個(gè)紅球、1個(gè)白球的甲箱,裝2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱,以及裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個(gè)球,所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)

(1)若兩個(gè)顧客都選擇方案二,各抽獎一次,求至少一個(gè)人獲得優(yōu)惠的概率；

(2)若某顧客選擇方案二,請分別計(jì)算該顧客獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率、7折優(yōu)惠的概率以及8折優(yōu)惠的概率；

(3)若小明的購物金額為320元,你覺得小明應(yīng)該選取哪個(gè)方案,為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知正方體的棱長為1．

正方體中哪些棱所在的直線與直線是異面直線？

若M，N分別是 ，的中點(diǎn)，求異面直線MN與BC所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，是橢圓上半部分的動點(diǎn)，連接和長軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)所得兩直線交正半軸于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的上方或重合）．

（1）當(dāng)面積最大時(shí)，求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，且

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值

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